Geometria analítica: estudo da Hipérbole (com questões)

Hipérbole

Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).

Elementos de uma Hipérbole:

F1 e F2 → são os focos da hipérbole
O → é o centro da hipérbole
2c → distância focal
2a → medida do eixo real ou transverso
2b → medida do eixo imaginário
c/a → excentricidade

Existe uma relação entre a, b e c → c² = a² + b²

OBS: Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não-focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas. Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas são iguais, elas têm o mesmo centro, mesmas assíntotas e os focos a uma mesma distância do centro.  

Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:½ PF₁ - PF₂ ½ = 2 a

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:b².x² - a².y² = a².b², onde b² = c² – a² , conforme pode ser verificado na figura acima.

Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:

Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A₁A₂) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B₁B₂) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0)  passa a ser:

Obs: Em uma hipérbole horizontal teremos x² positivo ( a equação começa com x²), em uma vertical teremos y² positivo ( a equação começa com y²).

Hipérbole equilátera

É aquela em que a = b, ou seja, a medida do semi-eixo real é igual à medida do semi-eixo imaginário.

Cálculo da hipérbole equilátera

Sendo a = b

(eixo real sobre x)      x² - y² = a²
(eixo real sobre y)      y² - x² = a²

Assímptotas da hipérbole

    

Assímptotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.

Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas rectas é ; quando é vertical, o coeficiente é .

Exemplo: Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1 (-5 , 0) e 
F2 (5, 0).

Solução: 

Temos que:
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5

Da relação notável, obtemos:
c² = a² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² =25 – 9 → b² = 16 → b = 4

Assim, a equação reduzida será dada por:

Fonte: www.algosobre.com.br
          www.brasilescola.com

Questões resolvidas sobre hipérbole

1) Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x² – 9y² = 225 .

SOLUÇÃO: 


Dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a²=9 e b²=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.

Portanto, c² = a² + b² = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.

Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.

2) Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x² - 16y² – 400 = 0.

SOLUÇÃO: 


Temos: 25x² - 16y² = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a² = 16 e b² = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.

Como c² = a² + b² , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41

Portanto a excentricidade

3) (Ufrj) Considere os pontos P (0, 0), P‚ (1, 1) e Pƒ (2, 6).

a) Determine a equação da parábola que passa por P, P‚ e Pƒ e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y das ordenadas;    

y = 2x£ - x

b) Determine outra parábola que passe pelos pontos P, P‚ e Pƒ

x = -2/15 y£ + 17/15 y

4) Qual é a medida da distância focal de uma hipérbole cuja medida do eixo imaginário é 24 e a medida do eixo real é 10 ?

(A) 22.

(B) 26.

(C) 28.

(D) 32.

Solução:

Seja a hipérbole de:

eixo real = 10 -> 2*a = 10 => a = 5

eixo imaginário = 24 -> 2*b = 24 => b = 12

temos que: c² = a² + b²

c² - 5² + 12² => c² = 169 => c = 13

a distância focal é dada por:

d(F1,F2) = 2*c => d(F1,F2) = 26.

5) Encontre a equação reduzida da hipérbole que possui dois focos com coordenadas F2 (0,10) e eixo imaginário medindo 12.

Solução: 

Temos que:

F2(0, 10) → c = 10

2b = 12 → b = 6

Utilizando a relação notável, obtemos:

10² = a² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 – 36 → a² = 64 → a = 8.

Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:

 

6) Determine a distância focal da hipérbole com equação 

Solução: 

Como a equação da hipérbole é do tipo  temos que

a² = 16 e b² =9

Da relação notável obtemos

c² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5

A distância focal é dada por 2c. Assim,

2c = 2*5 =10

Portanto, a distância focal é 10.

7) Mostre que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é Ö 2.

Solução:

Como a = b e c² = a² + b², temos que c² = 2a², ou seja, c = Ö 2a.

Logo, e = c/a = Ö 2a/a = Ö 2 

8) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3) e é perpendicular à reta que passa pelo centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 4y + 11 = 0 e pelo foco de coordenadas positivas da hipérbole de equação 

Solução: