quinta-feira, 10 de janeiro de 2013

Cilindro questões de vestibular

Cilindro


Consideremos um círculo de centro O e raio r num plano , e um segmento de reta , cuja reta suporte intercepta em Q. Temos segmentos de reta paralelos e congruentes a , cada um deles com uma das extremidades num ponto do círculo e a outra extremidade num mesmo semi-espaço dos determinados por ele. A reunião de todos esses segmentos é um sólido chamado cilindro.
Elementos de um cilindro
Considerando o cilindro representado abaixo, temos:
a) os círculos de centros O e O’ e o raio r situados em planos paralelos são as bases do cilindro;
b) os segmentos paralelos a OO com as extremidades em pontos das circunferências das bases são as geratrizes (g);
c) a reta OO «é o eixo do cilindro;
d) a distância entre os planos das bases é a altura (h) do cilindro.
Classificação do cilindro
Um cilindro pode ser:
  • circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às base. Nesse caso, a seção meridiana é um paralelogramo.
  • circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Nesse caso, a seção meridiana é um retângulo. Em cilindro reto a geratriz e a altura têm a mesma medida (g = h).
      Veja:
      O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:
      A reta  contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Cilindro equilátero 

O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero. 
No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r



Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.

A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:

Aℓ = 2*π*r*h

A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:

At = 2*π*r*h + π*r2 + π*r2 → At = 2*π*r*h + 2π*r2 

Volume do cilindro circular

O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:

V = π*r2*h 

Questões de vestibular sobre cilindros

1) (Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.


Solução:


Calculado o raio do cilindro

Calculando a altura da camada de petróleo


A camada de petróleo tem uma altura de 7 metros.

2) (UFG) Um produtor de suco armazena seu produto em caixas, em forma de paralelepípedo, com altura de 20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja trocar a caixa por uma embalagem em forma de cilindro, de mesma altura e mesma capacidade. Para que isso ocorra, qual deve ser o raio da base dessa embalagem cilíndrica?

Solução: 

Volume do paralelepípedo
V = c * l * h
c = comprimento da base
l = largura da base
h = altura
Nesse caso, ele não informou as medidas das dimensões do paralelepípedo, dessa forma consideremos todas iguais a l, então:
V = l * l * h

1 litro corresponde a 1 000 cm³, assim temos:
1000 = l * l * 20
1000 / 20 = l²
50 = l²
Volume do cilindro
V = π * r² * h
Volume da embalagem em paralelepípedo = Volume da embalagem cilíndrica
As alturas também são iguais, medindo 20 cm.

O raio da embalagem terá a seguinte medida:  .

3) (Cefet – SP) A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com capacidade de 1 570 litros.
Sabendo que 1 000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado π = 3,14, determine a medida do raio r do cilindro.

Solução:

1570 litros → 1,57 m³
V = π * r² * h
1,57 = 3,14 * r² * 2
1,57 = 6,28 * r²
1,57 / 6,28 = r²
0,25 = r²
√r² = √0,25
r = 0,5 m
A medida do raio do cilindro é de 0,5 metros ou 50 centímetros.

4) Determinar o volume de um cilindro regular reto cujo raio da base mede 5 m e a altura 3 m.

Solução:

 πR²h =  π*(5)² * 3 = 75 π m²

5) Uma indústria deseja fabricar um barril de óleo com formato cilíndrico cujo raio da base deve apresentar 40 cm de comprimento e sua altura será de 1,2 m. Para fabricação desse barril, a indústria utilizará chapas metálicas. Quantos metros quadrados de chapa serão necessários para fabricar um barril? (Use π = 3,14)

Solução: 

A resolução desse problema consiste em determinar a área total desse barril, que apresenta o formato de um cilindro. Do enunciado do problema, obtemos:
h = 1,2 m
r = 40 cm = 0,4 m
St = ?

Pela fórmula da área total, temos que:

St = 2∙π∙r∙(h + r)
St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ (1,2 + 0,4)
St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ 1,6
St = 4,02 m2

Portanto, serão gastos, aproximadamente, 4,02 metros quadrados de chapa metálica para confeccionar um barril.

6) Uma lata de extrato de tomate de formato cilíndrico possui área total de 244,92 cm2 de área total. Sabendo que o raio da base da lata mede 3 cm, obtenha a medida da altura dessa embalagem.

Solução: 

Pelo enunciado do problema, obtemos:
St = 244,92 cm2
h = ?
r = 3 cm

Utilizando a fórmula da área total, temos que:
7)  Determine a área total de um cilindro circular reto de 16 cm de altura e raio da base medindo 5 cm. (Use π = 3,14)

Solução: 

Pelo enunciado do problema temos os seguintes dados:
h = 16 cm
r = 5 cm
St = ?

Utilizando a fórmula da área total, obtemos:

St=2∙π∙r∙(h+r)
St = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 ∙(16 + 5)
St = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 ∙ 21
St = 659,4 cm2

8) (USF-SP) Um cilindro circular reto, de volume 20π cm³, tem altura de 5cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é igual a:
a)10π
b)12π
c)15π
d)18π
e)20π

Solução:

Na questão, podemos obter o raio do cilindro dessa forma:
Vcilindro = πR². h
Como a questão fornece o volume e a altura:
20π=πR².5
π dos dois lados podemos cortar, ficando:
20=5R²
R²=4
R=2
Tendo o raio, temos tudo, basta encontrar a área lateral:
Alateral = 2πRh
Alateral=2π2.5
Alateral=2π10
Alateral=20πcm³

9) Determine a área total e a área lateral de um cilindro reto que tem 18 cm de altura  e raio da base, 4 cm.

10) Um cilindro reto tem área total 171π cm² e o diâmetro da sua base é 18 cm. Determine a altura do cilindro.

11) Secciona-se um cilindro reto de 31cm de raio, por um plano paralelo ao seu eixo, e distante 18,6 cm desse eixo. A área da secção obtida é 1.240cm². Determine o volume do cilindro.

12) (UFSC) Um cilindro reto tem 63π cm³ de volume. Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura.

13) (UNIFOR-CE) Uma fábrica de embalagens recebeu um pedido para fabricar um recipiente fechado, com o formato de um cilindro circular reto e capacidade para 20 litros. Se o raio da base deve ser 25 cm, qual será aproximadamente, a altura do cilindro? Para seus cálculos considere: π = 3,14.

a) 0,1015 cm             b) 2,03 cm        c) 10,15 cm           d) 11, 5 cm         e) 15 cm


14) (UECE) Um cilindro circular reto de altura 7 cm tem volume igual a 28π cm³. A área total desse cilindro, em cm², é:

a) 30π                       b) 32π             c) 34π                 d) 36π

15) (FMU/FIAM-SP) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por:

a) 3                        b) 6                    c) 9                     d) 12                   e) 15

16) (ITA) Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números π, h, r formam nessa ordem, uma progressão aritmética de soma 6π. O valor da área total cilindro é:

a) π³                  b) 2π³                  c) 15π³                d) 20π³                e) 30π³


Gabarito:

9) Al = 144 cm² e At = 176π cm²   10) h = 4,75π cm    11) 24.025 cm³    12) 7 cm    13) C    
14) D     15) C       16) E

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