questões resolvidas Análise combinatória

Nesse artigo estudaremos o binômio de Newton, desenvolvimento do binômio de Newton e coeficientes binominais com exercícios resolvidos e propostos de vestibulares e concursos anteriores.

1. Introdução Binômio de Newton

O binômio de Newton desenvolvido pelo célebre Isaac Newton serve para o cálculo de um número binomial do tipo  (a + b)ⁿ .

Se n for 2, fica simples é apenas decorar que (a+b)² = a² + 2ab + b², ou seja, o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência de um binômio. Para esse método, porém, é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Nota:

exemplos de desenvolvimento de Binômio de Newton:

 (a + b)² = a² + 2ab + b²
 (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3ab² + b³(a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴
 (a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴ 
 (a + b)⁵ = a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

2. Fórmula do termo geral do desenvolvimento de (a + b)ⁿ

 Observando   os   termos   do  desenvolvimento   de   (a + b)ⁿ,   notamos  que  cada    um   deles   é   da   forma .

• Quando p = 0 temos o 1º termo: 
• Quando p = 1 temos o 2º termo: 
• Quando p = 2 temos o 3º termo: 
• Quando p = 3 temos o 4º termo: 
• Quando p = 4 temos o 5º termo: 
  
  
  
  
  Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:
  
  

Termo Central ou Médio: é aquele que fica no meio, se o desenvolvimento for de grau par. ( p = n/2 )

Termo Independente da variável é aquele cujo expoente desta variável é igual a zero.(b⁰)

Exemplo 1:
Determine o polinômio correspondente ao desenvolvimento da expressão  (3x +2)⁴ .

 Temos:

(3x +2)⁴ = (⁴₀)(3x)⁴.2⁰ + (⁴₁)(3x)³.2¹ + (⁴₂)(3x)².2² + (⁴₃)(3x)¹.2³ + (⁴₄)(3x)⁰.2⁴.

Isto é:

(3x +2)⁴ = 81x⁴ + 216x³ + 216x² +96x + 16

Exemplo 2:

Determine o polinômio correspondente ao desenvolvimento da expressão
(2x + 3)⁴.

(2x + 3)⁴ = (2x)⁴ * 1 + (2x)³ * 3 + (2x)² * 9 + (2x)¹*27 + (2x)⁰ * 81

(2x + 3)⁴ = 16x⁴ + 24x³ + 36x² + 54x + 81

Também podemos resolver pelo método da distribuição. Observe:

(2x + 3)⁴ = (2x + 3) * (2x + 3) * (2x + 3) * (2x + 3) = 16x⁴ + 24x³ + 36x² + 54x + 81

Porém, para situações nas quais o expoente indicado apresenta valores mais elevados, é aconselhado utilizar o binômio de Newton no desenvolvimento da expressão.

Para desenvolvermos uma expressão do tipo (2x – 3)⁴ , devemos alternar os sinais, iniciando com o sinal de positivo. A expressão (2x – 3)⁴ ficaria da seguinte forma:

(2x + 3)⁴ = 16x⁴ - 24x³ + 36x² - 54x + 81 

                                                       

3. Coeficientes binomiais

Dados dois números naturais n e p, chama-se coeficientes binomiais n sobre p, indicado por , ao número definido por:

                                         

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:

Assim, por exemplo, temos:

(¹⁰₇) = C_10,7 = 10! / [7! 3!] = 120
(⁷₃)= C_7,3 = 7! / [3!4!] = 35

Casos particulares:

(ⁿ₀)= n! / [0!n!] = n! / [1 n!] = 1
(ⁿ₁)= n! / [1!(n-1)!] = n(n-1)! / (n-1)! = n
(ⁿ_n)= n! / [n! 0!] = 1

Então, por exemplo, temos que:

(³₀)= 1
(⁵₁)= 5
(⁶₆)= 1

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª)	Se n, p, k   e p + k = n então

   Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

   Exemplos:

2ª)	Se n, p, k   e p  p-1  0 então

   Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

   Exemplos:

 Extraido de :

http://www.somatematica.com.br/emedio/binomio/binomio2.php

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Exercícios resolvidos e propostos com gabarito Binômio de Newton

01. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)³ⁿ , obtemos um polinômio de 16 termos . 

Qual o valor de n?

Solução:

Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.
Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.

02. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )⁶ .

Solução:

Sabemos que o termo independente de x  é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.

Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6.

Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:

T_p+1 = C_6,p . x^6-p . (1/x)^p = C_6,p . x^6-p . x^-p = C_6,p . x^6-2p .
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x⁰ = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
T₃₊₁ = T₄ = C_6,3 . x⁰ = C_6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.Logo, o termo independente de x é o T₄ (quarto termo) que é igual a 20.

03. (UF. VIÇOSA) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)^m é 625. O valor de m é:

a) 5                 b) 6                   c)10              d) 3                  e) 4

04. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)⁷ .

a) -128                 b) - 256                c) 56                d) 128                e) 256

05. (CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é: 

a) 64                     b) 60                  c) 12                d) 4                    e) 24

06. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (x - y)¹⁰⁴ é:

 
a) 1                        b) -1                 c) 0                  d) 104               e) 2
 

07. Calcule o 4° termo no desenvolvimento  de (2x – 1)⁶

08. (FGV-SP) Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]⁶ , obtém-se como termo independente de x o valor:

a) 10                  b) -10                     c) 20               d) -20                     e) 36

09. Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x² + 1/(2x))ⁿ estão em progressão aritmética.O valor de n é:


a) 8                      b) 6                  c) 4                    d) 7                 e) 12 

10. O desenvolvimento de (y-2)⁷ possui:

a) 7 termos 
b) 560 por coeficiente de y³ 
c) coeficiente negativo se o expoente de y for ímpar 
d) coeficiente de y⁶ igual ao coeficiente de y 
e) 6 termos 

11. (F.Ibero Americana-SP) Se a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³ - 12a²b + 6ab² - b³ = - 1, calcule o valor de a + b.

a) -3                 b) -2              c) -1               d) 0                 e) 1

12. (U. Estácio de Sá - RJ) O valor de n na soma dos coeficientes do desenvolvimento (a + b)ⁿ    = 2048 é:

a) 10                       b) 11                    c) 12                  d) 13                   e) 14


Gabarito: 

1) n = 5   2) 20   3) E   4) A  5) B  6) C  7) 20  8) D   9) A  10) B  11) E  12) B

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Triângulo de Pascal e suas propriedades

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