Cones questões vestibular

Artigo sobre áreas e volume de um cone, classificação dos cones com questões resolvidas  para um melhor um melhor melhor aprendizado.

Cones

Dado um círculo de centro O e raio R no plano B, e um ponto P fora do plano. O cone será formado por segmentos de reta unindo o ponto P aos pontos do círculo.

Outra forma de construir o cone é através da revolução do triângulo retângulo sobre um eixo vertical.

Elementos do cone 

g: geratriz do cone
h: altura do cone
r: raio da base
v: vértice 

Classificação do cone

Um cone é classificado segundo a inclinação do eixo VO:

 - oblíquo: quando o eixo é oblíquo à base.

- reto: quando o eixo VO é perpendicular à base;

            

Todo cone reto pode ser obtido pela rotação de um triângulo em torno de um de seus catetos. Por isso o cone reto também é chamado de cone de revolução.

Observe que o cateto contido no eixo é a altura h do cone; o outro cateto é o raio da base R e a hipotenusa é a geratriz do cone. Observe, ainda, que, um cone reto, vale, pelo teorema de Pitágoras, a seguinte relação:

 

Observações

1. A seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles que tem por base o diâmetro do cone e, por altura, a altura do cone. No caso particular de a seção meridiana ser um triângulo equilátero, o cone é chamado cone equilátero.

Áreas de um cone circular reto

Área da base
Por ser uma circunferência, a área da base de um cone é dada pela seguinte expressão:
 Ab = π * R²

Área da lateral
A área lateral do cone é dada pela seguinte expressão:

Al = π * r * g

Área total 
É dada somando-se a área lateral e a área da base. 
At = Al + Ab 
At = π r (g+r) 

At = π * R * (g + R)

Exemplo:

Um cone circular reto tem 12 cm de raio e 16 cm de altura. Determinar a área lateral e a área total desse cone.

Solução:

Cálculo da geratriz:

g² = h² + r²  ► g² = 16² + 12² ► g² = 400  ►  g = 20

Cálculo da área lateral:

Al = πrg  ►  Al = π * 12 * 20 ► Al = 240π

A área lateral é 240π cm²

Cálculo da área total:

At = π*r (g + r) ► At = π * 12 * (20 + 12) ► At = 384π 

A área total é 384π cm².

Volume de um cone 

O volume do cone é dado pelo produto da área da base pela altura divido por três. 
V = (Πr²h)/3

Exemplo:

Calcular o volume de um cone que tem 12 cm de altura, e o comprimento da circunferência de sua base é 8π cm.

Solução:

O comprimento de uma circunferência de raio r é dado por C = 2 π r.

Então: 2*π*r = 8π ► r = 4

V = 1/3 * π * 4² * 12 ► V = 64π

O volume é 64π cm³.

Exercícios resolvidos sobre cones

1) A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

sen(60^o) = h/20
(1/2)  = h/20
h = 10 R[3] cm
V = (1/3) A_base h
V = (1/3) π r² h

(1/3) π 10² 10 = (1/3) 1000  π cm³

r = 10 cm; g = 20 cm
A_lat =π r g = π 10 20 = 200π cm²

A_total = A_lat + A_base
A_total = π r g + π r² = π r (r+g)

A_total =  π 10 (10+20) = 300π cm²

2.  A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?

sen(60^o) = R/2
(1/2)  = R/2
R = cm

g² = h² + R²
2² = h² + 3
4 = h² + 3
h = 1 cm

V = (1/3) A_base h = (1/3) Pi R² h = (1/3) Pi 3 = Pi cm³

2) As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

h_prisma = 12
A_{base do prisma} = A_{base do cone} = A
V_prisma = 2 V_cone
A h_prisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h=18 cm

3) Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

V = V_cilindro - V_cone
V = A_base h - (1/3) A_base h
V =  π R² h - (1/3) π R² h

V = (2/3) Pi R² h cm³

^{4) Qual a altura de um cone circular reto cujo raio da base mede 5 cm e cuja geratriz mede 13 cm².}

^Solução:

^{g² = h² + r²}

^{h² + 5² = 13²}

^{h² = 144}

^{h = 12 cm}

5) (Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura.

A razão b a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é π. Determine o comprimento g da geratriz do cone.

Solução:

                

6) Um cone possui diâmetro da base medindo 24 cm, geratriz 20 cm e altura igual a 16 cm. Determine sua área total e seu volume.

Solução:

Área total
A = π * r * (g + r)
A = 3,14 * 12 * (20 + 12)
A = 3,14 * 12 * 32
A = 1 205,76 cm²

Volume

7) Um cone possui raio da base medindo 4 cm e altura igual a 10 cm. Determine a altura de um líquido que ocupa nesse cone o volume de 100 cm³.

Solução:

8) A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a

altura é de 12cm. Qual é o volume da casquinha? Resp. → V = 113,040m

Solução:

A base do cone é um círculo de área: Ab = πx r² ≈ 3,14 x 9 = 28,26cm². Como o volume da casquinha é dado por V = 1/3 x Ab x h = 1/3 x 28,26 x 12, temos: V ≈ 113,097cm³.

9) Qual é o volume de um cone circular reto, se a área da superfície lateral é 50π cm² e o raio da base mede 5 cm.

10) (UNIFOR-CE) Em um cone reto, a área da base é 9π cm² e a geratriz mede 3√10 cm. O volume desse cone, em centímetros cúbicos, é:

a) 27π                  b) 36π                 c) 48π                   d) 54π                   e) 81π

11) (UEMA) O volume de um cone equilátero que tem como área da base Ab = 12π  m² é:

a) 72π  m³            b) 24π  m³            c) 36π  m³              d) 28π m³            e) 40π  m³

12) (UFPI) Se 8π cm² é a área lateral de um cone circular reto cujo raio da base é 2 cm, então a altura desse cone, em cm, é:

a) √2                   b) √3                   c) √6                     d) 2√2                  e) 2√3

13) (ITA-SP) Um prisma hexagonal regular tem como altura o dobro da aresta da base A. A razão entre o volume desse prisma e o volume do cone reto, nele inscrito, é igual a:

a) 6√2 /  π              b) 9√2 / π                 c) 3√6 / π               d) 6√3 / π           e) 9√3 / π

14) (MACKENSIE-SP) A planificação da superfície lateral de um cone é um semicírculo de raio 10√3. O volume do cone é:

a) 357π                    b) 573π                 c) 375π                 d) 537π                e) 735π

Gabarito:

9) 125 √3π/3     10) A   11) B   12) E    13) D   14) C