sábado, 5 de janeiro de 2013

questões resolvidas Análise combinatória

Nesse artigo estudaremos o binômio de Newton, desenvolvimento do binômio de Newton e coeficientes binominais com exercícios resolvidos e propostos de vestibulares e concursos anteriores.

1. Introdução Binômio de Newton

O binômio de Newton desenvolvido pelo célebre Isaac Newton serve para o cálculo de um número binomial do tipo  (a + b)n .

Se n for 2, fica simples é apenas decorar que (a+b)² = a² + 2ab + b²ou seja, o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência de um binômio. Para esse método, porém, é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Nota:
exemplos de desenvolvimento de Binômio de Newton:

 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3(a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
 (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 
 (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

2. Fórmula do termo geral do desenvolvimento de (a + b)n

 Observando   os   termos   do  desenvolvimento   de   (a + b)n,   notamos  que  cada    um   deles   é   da   forma .

  • Quando p = 0 temos o 1º termo: 
  • Quando p = 1 temos o 2º termo: 
  • Quando p = 2 temos o 3º termo: 
  • Quando p = 3 temos o 4º termo: 
  • Quando p = 4 temos o 5º termo: 


    Percebemos, então, que um termo qualquer de ordem p + 1pode ser expresso por:




Termo Central ou Médio: é aquele que fica no meio, se o desenvolvimento for de grau par. ( p = n/2 )
Termo Independente da variável é aquele cujo expoente desta variável é igual a zero.(b0)

Exemplo 1:
Determine o polinômio correspondente ao desenvolvimento da expressão  (3x +2)4 .
 Temos:
(3x +2)4 = (40)(3x)4.20 + (41)(3x)3.21 + (42)(3x)2.22 + (43)(3x)1.23 + (44)(3x)0.24.
Isto é:
(3x +2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16
Exemplo 2:
Determine o polinômio correspondente ao desenvolvimento da expressão
(2x + 3)4.
(2x + 3)4 = (2x)4 * 1 + (2x)³ * 3 + (2x)² * 9 + (2x)¹*27 + (2x)0 * 81

(2x + 3)4 = 16x4 + 24x³ + 36x² + 54x + 81

Também podemos resolver pelo método da distribuição. Observe:

(2x + 3)4 = (2x + 3) * (2x + 3) * (2x + 3) * (2x + 3) = 16x4 + 24x³ + 36x² + 54x + 81

Porém, para situações nas quais o expoente indicado apresenta valores mais elevados, é aconselhado utilizar o binômio de Newton no desenvolvimento da expressão.

Para desenvolvermos uma expressão do tipo (2x – 3)4 , devemos alternar os sinais, iniciando com o sinal de positivo. A expressão (2x – 3)4 ficaria da seguinte forma:

(2x + 3)4 = 16x4 - 24x³ + 36x² - 54x + 81 
                                                       
3. Coeficientes binomiais
Dados dois números naturais n e p, chama-se coeficientes binomiais n sobre p, indicado por , ao número definido por:
                                         

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:

Assim, por exemplo, temos:

(107) = C10,7 = 10! / [7! 3!] = 120
(73)= C7,3 = 7! / [3!4!] = 35

Casos particulares:

(n0)= n! / [0!n!] = n! / [1 n!] = 1
(n1)= n! / [1!(n-1)!] = n(n-1)! / (n-1)! = n
(nn)= n! / [n! 0!] = 1

Então, por exemplo, temos que:

(30)= 1
(51)= 5
(66)= 1



Propriedades dos coeficientes binomiais


1ª)
Se n, p, k   e p + k = n então 
   Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.
   Exemplos:

2ª)
Se n, p, k   e p  p-1  0 então 
   Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).
   Exemplos:
 Extraido de :
http://www.somatematica.com.br/emedio/binomio/binomio2.php


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Exercícios resolvidos e propostos com gabarito Binômio de Newton

01. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n , obtemos um polinômio de 16 termos . 
Qual o valor de n?

Solução:

Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.
Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.

02. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .

Solução:

Sabemos que o termo independente de x  é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6.

Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:

Tp+1 = C6,p . x6-p . (1/x)p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p .
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.

03. (UF. VIÇOSA) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:

a) 5                 b) 6                   c)10              d) 3                  e) 4

04. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .

a) -128                 b) - 256                c) 56                d) 128                e) 256

05. (CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é: 


a) 64                     b) 60                  c) 12                d) 4                    e) 24

06. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (x - y)104 é:
 
a) 1                        b) -1                 c) 0                  d) 104               e) 2
 

07. Calcule o 4° termo no desenvolvimento  de (2x – 1)6


08. (FGV-SP) Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:

a) 10                  b) -10                     c) 20               d) -20                     e) 36

09. Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor de n é:


a) 8                      
b) 6                  c) 4                    d) 7                 e) 12 

10. O desenvolvimento de (y-2)7 possui:

a) 7 termos 
b) 560 por coeficiente de y
c) coeficiente negativo se o expoente de y for ímpar 
d) coeficiente de y6 igual ao coeficiente de y 
e) 6 termos 

11. (F.Ibero Americana-SP) Se a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³ - 12a²b + 6ab² - b³ = - 1, calcule o valor de a + b.

a) -3                 b) -2              c) -1               d) 0                 e) 1

12. (U. Estácio de Sá - RJ) O valor de n na soma dos coeficientes do desenvolvimento (a + b)n    = 2048 é:

a) 10                       b) 11                    c) 12                  d) 13                   e) 14


Gabarito: 
1) n = 5   2) 20   3) E   4) A  5) B  6) C  7) 20  8) D   9) A  10) B  11) E  12) B




Ivan, estou feliz com o curso, sempre quis desenhar, mas o tempo e muito curto, e retomei esse sonho com o curso, aos poucos estou conseguindo cumprir todas as tarefas e vejo muitas melhorias nos meus trabalhos, Ivan suas explicações são...
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