sábado, 5 de janeiro de 2013

questões resolvidas Análise combinatória

 questões resolvidas de Análise combinatória

1) (OBM-2008)Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo baralharam as 52 cartas de um baralho e distribuíram 13 cartas para cada um. Arnaldo ficou surpreso: "Que estranho, não tenho nenhuma carta de espadas". Qual a probabilidade de Bernaldo também não ter cartas de espadas?

Precisamos calcular a probabilidade de Bernaldo não ter cartas de espadas, dentre todas as possibilidades de distribuição se Arnaldo não tem cartas de espadas. Primeiro vamos ver o que acontece se Arnaldo não tiver cartas de espada: 

Para Arnaldo temos uma combinação de 39 elementos tomados de 13 a 13, para Bernaldo também (ele pode receber uma das 13 cartas de espada), para Cernaldo uma combinação de 26 elementos tomados de 13 a 13, e para Dernaldo só sobra uma possibilidade. Assim:


A=(3913)×(3913)×(2613)


Agora vamos supor que Bernaldo também não tenha cartas de espadas. Assim, para Arnaldo temos uma combinação de 39 elementos tomados de 13 a 13, para Bernaldo uma combinação de 26 elementos tomados de 13 a 13, para Cernaldo uma combinação de 26 elementos tomados de 13 a 13 e para Dernaldo há apenas uma possibilidade. Pelo princípio multiplicativo:


B=(3913)×(2613)×(2613)


Agora basta calcular B/A, que realizando os cálculos e simplificando nos dá a resposta:


BA=26!26!13!39!

2) (UNITAU) Sendo n ≠ 0, o(s) valor(es) de n tal que


(n+1)!n!(n1)!=7n


é(são):

a) 7.
b) 0 e 7.
c) 0 e 10.
d) 1.
e) 0 e 2.

Uma questão puramente algébrica que aborda o conceito de fatorial. Lembra da definição? n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1. Dessa definição concluímos que n! = n * (n - 1)!, concorda? Vamos tentar utilizar esse fato para simplificar a expressão acima:


n!(n+1)n!(n1)!n!(n+11)(n1)!n!nn(n1)!n=7n=7n=7n(n1)!=7(n1)!=7


Assim, concluímos que a alternativa correta é a).

3) (FUVEST) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, ..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 (quadra), 5 (quina) ou todos os 6 (sena) números sorteados. 

Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os 38.700 jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que todos os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena:

a) Quantas apostas premiadas com a quina esse apostador conseguiu?
b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu?


A questão a) é simples: para 5 números da aposta temos a combinação dos 6 números sorteados tomados de 5 a 5 e para o último podemos escolher qualquer um dos 20 - 6 = 14 restantes. Pelo princípio multiplicativo, nossa resposta será:

(65)×14=6×14=84


A b) é parecida, mas agora temos 4 números da aposta para a combinação dos 6 números sorteados tomados de 4 a 4. Concorda que os 2 números restantes serão uma combinação dos 14 restantes tomados de 2 a 2? Portanto:

4) Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces, dos 8 tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos fabricados. Quantas são as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente?

Estamos trabalhando com combinação simples, pois não importa a ordem de preenchimento dos recipientes. No caso dos doces vamos calcular C8, 3:

Já no caso dos salgados vamos calcular C7, 2:
O número total de combinações será então o produto de 56 por 21:
Logo:
São 1176 as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente.
5) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?
Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda tem-se 11, para a terceira tem-se10 e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3 possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos:
12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800
Se não importasse a ordem das aves no poleiro, iríamos dividir 239500800 por 10! para anular a permutação das10 aves no poleiro, mas como a ordem das aves empoleiradas distingue um agrupamento do outro, não iremos realizar tal divisão, pois estamos na verdade trabalhando com arranjo simples.
Já que estamos a trabalhar com arranjo simples, você já deve ter percebido que poderíamos ter calculado A12, 10:
Então:
As aves podem ser empoleiradas de 239500800 formas distintas.
6) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CALOUROS, tal que sempre haja a presença da sequência OURO, nesta ordem, e as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem?
Trocando a sequência OURO por *, de CALOUROS passamos a ter CAL*S. Agora temos cinco caracteres, logo devemos permutá-los para obter o número de anagramas:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Dos 120 anagramas possíveis, temos alguns que possuem ou a sequência CS, ou a sequência SC. Como desconsiderá-los?
É simples, vamos contá-los.
Vamos trocar a sequência formada pelas letras C e S, em qualquer ordem, por $. Ficamos então com $AL*.
Temos então que calcular P4, mas como C e S são 2 letras que também permutam entre si, devemos multiplicar P4por P2:
P4 . P2 = 4! . 2! = 4 . 3 . 2 . 1 . 2 . 1 = 48
Atente ao fato de que no caso da sequência CAL*S calculamos P5, mas não a multiplicamos por nada, isto porque diferentemente do que ocorre com as letras da sequência CS, as letras da sequência OURO não sofrem permutação entre si. A sequência é sempre a mesma.
Então, dos 120 anagramas possíveis, 48 deles possuem uma das permutações da sequência CS. Vamos portanto descontá-los:
120 - 48 = 72
Logo:
Podemos formar 72 anagramas que correspondem às condições do enunciado.
7) Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam um campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade da federação de cada um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato?
Em outras palavras queremos saber o número de permutações possíveis entre as unidades da federação de RS,RJ, RS e SP.
Através do cálculo de P4 temos:
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
No entanto a UF do RS ocorre 2 vezes, devemos portanto eliminar as duas permutações referentes a ela, dividindo 24 por 2!, quando iremos obter 12 maneiras diferentes de poder terminar o campeonato.
Podemos também solucionar o problema calculando P4(2):
Logo:
O campeonato pode terminar de 12 maneiras diferentes.
8) Considerando que uma palavra é uma concatenação de letras entre as 26 letras do alfabeto, que pode ou não ter significado, julgue o item a seguir como CERTO ou ERRADO.
1- Com as letras da palavra COMPOSITORES, podem ser formadas mais de 500 palavras diferentes, de 3 letras distintas. (CERTO ou ERRADO).
2 – As 4 palavras da frase “Dançam conforme a música” podem ser rearranjadas de modo a formar novas frases de 4 palavras, com ou sem significado. Nesse caso, o número máximo dessas frases que podem ser formadas, incluindo a frase original, é igual a 16. (CERTO ou ERRADO).
3 - Considerando todas as 26 letras do alfabeto, a quantidade de palavras de 3 letras que podem ser formadas, todas começando por U ou V, é superior a 2 × 103. (CERTO ou ERRADO).

Solução:
Vamos resolver cada um dos itens:
Item 1: Com as letras da palavra COMPOSITORES, podem ser formadas mais de 500 palavras diferentes, de 3 letras distintas. 
  • Primeiro passo: Devemos contar quantas letras não repetidas temos na palavra COMPOSITORES.
 C – O – M – P – S – I – T – R – E
 Temos 9 letras. 
  • Segundo passo: Agrupando as 9 letras de 3 em 3, temos o seguinte arranjo:
 
 Portanto, podem ser formadas 504, ou seja, o item 1 está CORRETO
Item 2: As 4 palavras da frase “Dançam conforme a música” podem ser rearranjadas de modo a formar novas frases de 4 palavras, com ou sem significado.
 O Item 2 não deixa muito claro se o posicionamento das palavras na frase leva ou não em consideração o reposicionamento das letras, dentro das palavras.
 Consideramos apenas o reposicionamento das palavras na frase, sem mexer nas letras: 
  • Primeiro passo: Devemos identificar o tipo de cálculo que iremos realizar, neste caso utilizaremos uma permutação simples (os elementos que formam agrupamentos são diferentes entre si e se diferenciam somente pela ordem). A fórmula é P = n!  

  • Segundo passo: Vamos calcular o resultado:  P = 4! = 4.3.2.1 = 24, portanto são 24 diferentes frases possíveis, ou seja, o item 2 está ERRADO, pois afirma que a contagem daria 16 posições.
Agora vamos considerar o reposicionamento das palavras na frase, levando em consideração, também o reposicionamento das letras. 
  • Primeiro passo: Devemos contar quantas letras não repetidas temos em cada palavra. 
Dançam: D – A – N – Ç – M, temos 5 letras
Conforme:  C – O – N – F – R – M – E, temos 7 letras
a: A, temos 1 letra
música: M – U – S – I – C – A, temos 6 letras 
  • Segundo passo: calcular as possibilidades para a frase: , não é preciso calcular para saber que o resultado será um número enorme, e como o item 2 diz que o resultado será 16, podemos afirmar que o item está ERRADO

Item 3: Considerando todas as 26 letras do alfabeto, a quantidade de palavras de 3 letras que podem ser formadas, todas começando por U ou V, é superior a 2 × 103. 
  • Primeiro passo: Este item fala que a palavra deve ter exatamente 3 letras e que pode começar (primeira posição) tanto com a letra U como com a letra V. Já a segunda e a terceira posição podem ter qualquer letra, repetida ou não.
   
  • Segundo passo: Devemos calcular se o arranjo dará um resultado maior que 2 × 10ou seja, maior que 2.000.
,  que é inferior a 2.000. Portanto o Item 3 está ERRADO.

9) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:
(A) 20
(B) 15
(C) 12
(D) 10
Admita que cada lado horizontal de cada triângulo da figura seja H e cada lado em diagonal seja D.
Observando a figura, conclui-se que, para sair do ponto A e chegar ao ponto B, deslocando-se sobre os lados desses triângulos e percorrendo o menor caminho, é necessário realizar um percurso total de 4H e 2D.
O número de sequências formadas com essas 6 letras é igual ao número X de caminhos distintos. As sequências (HHHHDD) e (HDHDHH) representam dois desses caminhos. Utilizando a análise combinatória, pode-se determinar o número de sequências distintas formadas com as 6 letras das seguintes maneiras:
 .
ou


 



(64)×(142)=15×91=1365




(103)(73)(33)=84

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