ângulos poliédricos questões

Ângulos poliédricos são os formados entre dois planos de um diedro, triedro ou poliedro.

Sejam  n  semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

Dois ângulos poliédricos convexos, de mesmo número de arestas, são congruentes quando os ângulos de suas faces forem ordenadamente congruentes, assim como os diedros.

Citaremos duas propriedades importantes dos ângulos poliédricos:

P1) A medida do ângulo de qualquer face é menor do que a soma das medidas dos ângulos das outras.

P2) A soma das medidas dos ângulos de todas as faces é menor que 360º.

Questões ângulos poliédricos

1) Existe algum ângulo poliédrico convexo de 6 faces cujos ângulos tenham 25º, 40º, 78º, 150º, 50º e 90º?

Solução:

Com relação a P1, basta verificá-la para a maior das faces (150º)

150º < 25º + 40º + 78º + 50º + 90º

150º < 283º é sentença verdaeira.

Com relação a P2, temos:

25º + 40º + 78º + 50º + 90º < 360º

433º < 360º é sentença falsa! 

Concluindo não existe ângulo poliédrico convexo cujas faces possuam as mesmas medidas dadas.

2) Determinar quais os valores que n pode assumir, sabendo que um ângulo poliédrico convexo tem 4 faces cujos ângulos medem 60º, 46º, nº e 142º.

Solução:

Devemos ter simultaneamente:

60º + 46º + nº + 142º < 360º 

248º + nº < 360º

nº < 112º

142º < 60º + 46º + nº ► nº > 36º

nº < 60º + 46º + 142º ► nº < 248º

Concluindo: 36º < nº < 112º, ou seja: 36 < n < 112.

3) O ângulo de cada uma das faces de um ângulo poliédrico mede 44º. Dê o número mínimo e o número máximo de suas arestas. 

4) Dadas as medidas dos ângulos das faces de um ângulo poliédrico convexo, determine n em cada caso:

a) 40º, 54º, 76º, nº
b) 28º, 35º, 70º, 150º, nº

5) Os ângulos das faces de um ângulo poliédrico convexo medem x - 40º, xº + 40º e xº. Ache os possíveis valores de xº.


Gabarito:
3) mínimo 3 e máximo 8
4) a) 0 < n < 170          b) 17 < n < 77
5) 80º < x < 120º