Vetores - resumo (com questões)

Grandezas escalares e vetoriais

Algumas grandezas físicas exigem, para sua perfeita caracterização, apenas uma intensidade. 

Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Assim, grandezas físicas, como massa, comprimento, tempo, temperatura, densidade e muitas outras, são classificadas como grandezas escalares. 

Por outro lado, existem grandezas físicas que, para sua perfeita caracterização, exigem, além da intensidade, uma orientação espacial (direção e sentido). 

Tais grandezas recebem o nome de grandezas vetoriais. Como exemplo de grandezas vetoriais, podemos citar: força, impulso, quantidade de movimento, velocidade, aceleração e muitas outras. 

Vetores

As grandezas vetoriais são representadas por um ente matemático denominado vetor.

Um vetor reúne, em si, o módulo, representando o valor numérico ou intensidade da grandeza, e a direção e sentido, representando a orientação da grandeza. 

É importante salientarmos as diferenças entre direção e sentido: um conjunto de retas paralelas tem a mesma direção. 

e, a cada direção, podemos associar uma orientação. 

A figura abaixo representa uma grandeza vetorial qualquer: um segmento de reta orientado (direção e sentido) com uma determinada medida (módulo). 

Para indicar um vetor, podemos usar qualquer uma das formas indicadas abaixo:

Para indicarmos o módulo de um vetor, podemos usar qualquer uma das seguintes notações: 



Assim,  indica o vetor  e a indica o módulo do vetor. 

Vetor Oposto

      O vetor oposto é aquele que possui o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido oposto. Veja a seguir um exemplo com o vetor e o seu respectivo oposto.

 VETOR UNITÁRIO (VERSOR)

Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO , ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja:
| u | = u = 1.

O VETOR NULO

Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados.
Notação: 0

Decomposição de vetores no plano

Quando nos referimos a grandezas escalares não temos a necessidade de fazer uso de uma palavra específica para expressar sua medida, basta expressar a própria medida, como, por exemplo: a massa de um corpo é 2 kg, o comprimento da pista é 5 km etc. Mas quando estamos trabalhando com grandezas vetoriais esse procedimento deixa de ser correto, pois a expressão da medida só dá uma parcela da informação, por exemplo: dizer que a força aplicada a um corpo é 4 N não indica a direção e o sentido da força.

Por esse motivo, em grandezas vetoriais, o correto é dizer: o módulo da força aplicada a um corpo é 4 N. Em outras situações que abordam grandezas vetoriais, temos que realizar a soma ou a subtração de vetores na mesma direção. Um caso bem interessante e que merece bastante atenção é a soma de grandezas vetoriais com vetores dispostos perpendicularmente entre si.

Quando você se deparar com uma situação onde há a necessidade de realizar a soma ou a subtração de vetores perpendiculares entre si, o melhor que você deve fazer é trabalhar com a decomposição de vetores.

Na soma de dois vetores, podemos encontrar apenas um único vetor, ou seja, o vetor resultante, que nada mais é do que um vetor que equivale a esses dois vetores. Na decomposição de vetores, o processo é inverso. Dado um vetor , podemos encontrar outros dois vetores  e  tal que . Vejamos a figura abaixo:

Nesse caso, como  e  são vetores perpendiculares entre si, a decomposição é ortogonal. Veja a figura abaixo:

Na figura acima podemos deslocar o vetor  para a extremidade do vetor  de modo que o vetor  e seus vetores componentes ortogonais  e  formem um triângulo retângulo.

Com base na relação trigonométrica aplicada a um triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes horizontal e vertical do vetor  em função do ângulo θ. Dessa forma, do triângulo amarelo acima temos:

A expressão do módulo do componente horizontal

A expressão do módulo do componente vertical

Finalmente, como o triângulo formado por  e seus componentes é um triângulo retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

que é a relação entre o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais.

Operações com vetores

Adição de vetores

Na adição de vetores, cada par de vetores u e v corresponderá um vetor u+v que é a soma dos vetores u e v. para adicionar dois vetores pegaremos um representante qualquer (A,B) desse vetor u e do vetor v que tem origem em B e extremidade em C. Dessa forma teremos determinada um segmento orientado (AC), que por definição representa o vetor u+v que é a soma dos vetores u e v.

• Da imagem acima concluímos que determinar o vetor u+v proveniente da soma do vetor u com o vetor v, precisamos apenas completar o triangulo, lembrando sempre de pôr a origem do vetor soma na origem do primeiro vetor, o segundo vetor deve ter a origem na extremidade do primeiro vetor.

 Na adição de vetores podemos utilizar de outra ferramenta, a regra do paralelogramo. Pegamos os representantes de u e v com a mesma origem A e construímos o paralelogramo ABCD. O vetor u+v é representado pelo seguimento orientado (A,D).

Propriedades

1) Propriedade Associativa

(u+v)+w = u+(v+w) (para qualquer u,v,w pertencentes a v³)

2) Propriedade Comutativa

u+v = v+u (para qualquer u,v pertencentes a v³)

3) Elemento Neutro

u+0 = u (para qualquer u pertencentes a v³)

4) Elemento Oposto

Para um dado vetor u qualquer, existe um vetor que quando somado a ele dará como resultado um vetor nulo. Este vetor é o vetor oposto a u, denominado de –u

u+(-u) = AB +AB = AA = 0

Observe que a subtração de vetores é simplesmente a soma de um vetor com um vetor oposto. Exemplo:

u-v = u+(-v) (para qualquer u,v pertencentes a v³)

Adição vetorial gráfica

A primeira maneira de se somar dois ou mais vetores é a forma gráfica. A regra é simples: cada vetor a ser somado é colocado de maneira que o final de um coincida com o início do próximo. O vetor resultante será obtido unindo-se o início do primeiro com o final do último.

Note no exemplo acima que o vetor  une o início do vetor  ao final do vetor 

Veja este outro exemplo:

Note que a resultante  é a soma dos vetores ou 

Adição vetorial por decomposição

Veja agora este exemplo:

Calcule que a soma do vetor  com o , sabendo-se que o módulo de  e , e que os ângulos com a horizontal são respectivamente 60° e 30°.

Primeiro se decompõe o vetor  em dois vetores um vertical e outro horizontal.

Onde:

Como a é 60° tem-se:

O mesmo se dá para o vetor 

Agora é só somar os componentes verticais e horizontais que são respectivamente 22,3 e 18,7. O vetor resultante terá o módulo:

E um ângulo com a horizontal b igual:

Regra do Polígono

Para efetuarmos a adição de vetores pela regra do polígono, escolhemos, arbitrariamente, um dos vetores como ponto de partida e traçamos os vetores seguintes, colocando a origem do 2º vetor coincidindo com a extremidade do 1º e, assim, sucessivamente, até traçarmos todos os vetores. O vetor soma  ou resultante  é determinado pela origem do 1º vetor e pela extremidade do último vetor traçado.

Exemplo:

 Obter, pelo método do polígono, a resultante das forças F₁ = F₂ = 100 N

Resolução

Construindo o polígono, obtemos um triângulo equilátero  portanto o resultante tem intensidade igual à das forças componentes.

Subtração de Vetores         Dados dois vetores   e , a operação é realizada através da adição do vetor  com o vetor oposto a  , ou seja, com o vetor –  . Para essa adição utilizamos a regra do paralelogramo. Como  +  = 180°, então cos  = – cos  Assim, Outro modo de obtermos o vetor  é: • Fazer as origens de  e  coincidirem. • Unir as extremidades de  e  e o vetor  obtido terá sentido apontado para o vetor que se lê primeiro na expressão   , no caso, o vetor  . Seu módulo será dado por:      Vejamos alguns casos particulares: a)  e  têm mesmo sentido  Produto escalar Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por: u.v = a.c + b.d Exemplos: O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 Propriedades do produto escalar Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

Método das Componentes Vetoriais

Todo vetor  , em um plano, pode ser representado por dois outros vetores, chamados de componentes retangulares.

Dado um vetor  e duas direções de referência OX e OY, determinamos as componentes retangulares do vetor  através das projeções perpendiculares da origem e da extremidade do vetor nas direções dadas, conforme figura a seguir.

O vetor  pode ser representado pelas suas componentes retangulares _x e _y, sendo válida a relação

Para determinarmos os módulos das componentes _x e_y, devemos usar as relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Vetor Posição Consideremos um corpo descrevendo uma trajetória curva em relação a um sistema de coordenadas retangulares xy, conforme a figura. A posição P do corpo, num instante t qualquer, pode ser fornecida pelas coordenadas x e y e o movimento do corpo pode ser descrito pelas funções horárias. x = f(t) e y = f(t) Podemos também fornecer a posição do corpo pelo vetor   , um vetor com origem no ponto 0 (referencial) e extremidade no ponto P. Esse vetor r recebe o nome de vetor posição. Deslocamento Vetorial Quando um corpo se movimenta numa trajetória curva qualquer, o vetor posição  varia no decorrer do tempo. Essa variação no vetor posição ocorre, obrigatoriamente, na direção e no sentido, mas não obrigatoriamente no módulo. Se o móvel se movimenta do ponto P1 para o ponto P2, dizemos que ele sofreu um deslocamento vetorial dado por O vetor , que representa o deslocamento vetorial do móvel entre os instantes t1 e t2, é um vetor com origem em P1 (posição inicial) e extremidade em P2 (posição final). O módulo do vetor deslocamento  é dado por: Velocidade Vetorial Média O vetor velocidade vetorial média  é definido pela relação entre o vetor deslocamento  e o correspondente intervalo de tempo  Como o intervalo de tempo  é sempre positivo, o vetor velocidade vetorial média possui a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor deslocamento .

ACELERAÇÃO VETORIAL INSTANTÂNEA

É a aceleração vetorial de um móvel em cada ponto de sua trajetória.

Como todo vetor pode ser obtido pela soma de suas componentes perpendiculares, vamos decompor o vetor aceleração instantânea, tomando como base a direção do vetor velocidade:
         
a) Aceleração tangencial (_t) – É a componente da aceleração vetorial na direção do vetor velocidade ( ) e indica a variação do módulo deste. Possui módulo 

igual ao da aceleração escalar:
     

Importante:
1) Em movimentos acelerados, _t e têm o mesmo sentido.

2) Em movimentos retardados, _t e têm sentidos contrários, como na figura anterior.

3) Em movimentos uniformes, _t é nula, já que o módulo de não varia nesses movimentos.

b) Aceleração centrípeta ou normal (c) – É a componente da aceleração vetorial na direção do raio de curvatura (R) e indica a variação da direção do vetor velocidade (). Tem sentido apontando para o centro da trajetória (por isso, centrípeta) e módulo

dado por:
        
Importante: nos movimentos retilíneos,_c é nula porque o móvel não muda de direção nesses movimentos.

Aceleração vetorial resultante – A obtenção da intensidade da aceleração resultante pode ser feita aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo em destaque na figura:

a₂ = a²_t + a²_c

Exemplo:

01. (PUC–SP) Um móvel parte do repouso e percorre uma trajetória circular de raio 100m, em movimento acelerado

uniformemente, de aceleração escalar igual 1m/s2. Calcule, após 10s, as componentes tangencial e centrípeta da aceleração.

Solução:
   .

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:

Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v.

Decomposição de vetores em Vetores Unitários

Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.

Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e como vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário .

Então, a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado por , e sua projeção no eixo ydo plano será: . Este vetor pode ser escrito como:

=(,), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em x e o segundo é a projeção no eixo y. Caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo z.

No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como,

desde que nenhum deles seja nulo.

 Fonte: www.mundoeducacao.com/

           educacao.uol.com.br/

           interna.coceducacao.com.br

           www.sofisica.com.br/
           http://www.colegioweb.com.br/trab

Questões resolvidas sobre vetores

1) (UFAL) Considere as grandezas físicas:

I. Velocidade

II. Temperatura

III. Quantidade de movimento

IV. Deslocamento

V. Força

Destas, a grandeza escalar é:

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

2) (CESGRANRIO) Das grandezas citadas nas opções a seguir assinale aquela que é de natureza vetorial:

a) pressão

b) força eletromotriz

c) corrente elétrica

d) campo elétrico

e) trabalho

3) (UEPG - PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:

a) escalar

b) algébrica

c) linear

d) vetorial

e) n.d.a.

4) (FESP) Num corpo estão aplicadas apenas duas forças de intensidades 12N e 8,0N. Uma possível intensidade da resultante será:

a) 22N

b) 3,0N

c) 10N

d) zero

e) 21N

Solução:

2 FORÇAS APLICADAS EM 12N E 8N, LOGO:

N+N=12+8

2N=20

N=20/2

N=10N

5) Suponha que uma partícula se move com aceleração escalar de 3 m/s² em uma trajetória circular cujo raio é igual a 24 m. No instante t = 0, a velocidade dessa partícula é igual a 6 m/s. Assim, determine o módulo da aceleração tangencial e marque a alternativa correta.

a) 2 m/s²
b) 3m/s²
c) 4 m/s²
d) 5 m/s²
e) 6 m/s²

^Solução:

Em uma trajetória curva, a aceleração tangencial possui o mesmo módulo, ou seja, o mesmo valor da aceleração escalar, portanto o valor da aceleração tangencial é 3 m/s².

6) Suponha que você tenha uma partícula em movimento circular uniforme. Podemos dizer que:

a) aceleração vetorial é constante

b) o módulo da velocidade vetorial é constante

c) o módulo da aceleração vetorial é nulo

d) a velocidade vetorial é constante

e) a velocidade vetorial tem seu sentido para o centro da trajetória

7) Em que movimentos permanece constante: 

      a) o módulo da velocidade vetorial;

      b) a direção de velocidade vetorial;

      c) a velocidade vetorial.  

8)  (UFPA) Uma partícula percorre, com movimento uniforme, uma trajetória não retilínea. Em cada instante teremos que:  

 a) Os vetores velocidade e aceleração são paralelos entre si;

 b) A velocidade vetorial é nula;

 c) Os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si;

 d) Os vetores velocidade a aceleração têm direções independentes;

 e) O valor do ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração muda de ponto a ponto. 

9)  (MACKENZIE) Um corpo é atirado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial de módulo 50 m/s. O módulo de sua velocidade vetorial média entre o instante de lançamento e o instante em que retorna ao solo é:  

      a) 50 m/s

      b) 25 m/s

      c) 5,0 m/s

      d) 2,5 m/s

      e) zero     

10) Considere uma partícula em movimento.  

A respeito de sua velocidade vetorial (instantânea) assinale a opção falsa: 

 a) tem direção sempre tangente à trajetória;

 b) tem sentido sempre concordante com o sentido do movimento;

 c) tem intensidade sempre igual ao valor absoluto da velocidade escalar (instantânea);

 d) somente é constante se o movimento for retilíneo e uniforme;

 e) é constante no movimento circular e uniforme.  

11)  Um veiculo faz uma curva de 100 m de raio com velocidade constante de 72 Km/h. Calcule a aceleração tangencial e vetorial.

Solução:

V= d/t V= 72km/h = 20m/s
20 = 100/t 
20t = 100 
t = 100/20 
t =5s 
V =a .t
20 = a.5
a = 20/5
a= 4m/s²

12) Um veiculo com aceleração tangencial de 8m/s² faz uma curva de raio 150 m. Num certo instante a velocidade desse veiculo é de 108 Km/h. Calcule para esse instante a aceleração vetorial.

Solução:

V = 108km/h = 30m/s 
d = a.t²/2
150 = 8.t²/2 
300 = 8t² 
300/8 = t² 
t² = 37,5
t = 6s

30 = a.6
a = 30/6
a= 5m/s²

13) Dados os vetores no plano R² , u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se determinar:

a) o vetor soma u + v
b) o módulo do vetor u + v
c) o vetor diferença u - vd) o vetor 3 u - 2 ve) o produto interno u.v

SOLUÇÃO:

a) Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i - 4 jb) | u + v| = Ö 3² + 4² = Ö 25 = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
c) u - v = (2, -5) - (1, 1) = (1, -6) = i - 6 jd) 3u - 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 je) u.v = 2.1 + (-5).1 = - 3

14) Um projétil é lançado com uma velocidade de módulo 20 m/s e formando com o plano horizontal um ângulo de 60°. Calcule os componentes horizontal e vertical da velocidade.

Solução:

 V_x = 10m/s

15) Um corpo é atirado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial de módulo 50 m/s. O módulo de sua velocidade vetorial média entre o instante de lançamento e o instante em que retorna ao solo é:

a) 50 m/s
b) 25 m/s
c) 5,0 m/s
d) 2,5 m/s
e) zero

Gabarito:

1) B          2) D             3) D             4) C             5) B              6) B     

7) a) O módulo da velocidade vetorial é igual ao da velocidade escalar e será constante se o  movimento for  uniforme. 

b) A velocidade vetorial terá direção constante se a trajetória for retilínea.

c) Para a velocidade vetorial ser constante ela deve ser todas as suas características constantes e, portanto, o movimento deverá ser retilíneo e uniforme.

8) C

9) E

10) E
15) E