Polígonos - geometria

Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal fechada.  A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poli) e ângulos (gono).

Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:

— Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices cosecutivos: , , , , , .

— Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.

— Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: , , , , 

— Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , , , .

— Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: , , , , .

Classificação dos polígonos quanto aos números de lados

Os polígonos classificam-se em função do número de lados. Abaixo estão os principais polígonos:

Nome	Polígono	Nº de lados
Triângulo		3
Quadrilátero		4
Pentágono		5
Hexágono		6
Heptágono		7
Octógono		8
Decágono		10

Alguns polígonos possuem nomes bem particulares, veja a seguir:

• um polígono com 9 ângulos → eneágono
• um polígono com 11 ângulos → undecágono
• um polígono com 15 ângulos → pentadecágono
• um polígono com 20 ângulos → icoságono

Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos dar ênfase no significado de diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer.

Classificação dos polígonos

A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:

Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e externa), caso o contrário é denominado complexo.
Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo.
Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma circunferência.
Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares:

triângulo equilátero
quadrado
pentágono regular
hexágono regular

Propriedades dos polígonos

De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diagonais (dv).
O número de diagonais (d) de um polígono é dado por , onde n é o número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por .
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é igual a . 

Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vérice é dado por n - 2.
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por.
A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada por .
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual a 360º.
A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada por

Polígono regular e irregular

Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. Alguns exemplos de polígonos regulares.

                     Polígonos regulares

Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho.

                    Polígonos irregulares

Número de Diagonais de um Polígono Convexo

Num polígono convexo A₁ A₂ ... A_n com n lados, em cada vértice, temos (n – 3) diagonais, então nos nvértices são n (n – 3) diagonais.

No entanto, desse modo, cada diagonal está sendo contada duas vezes, por exemplo,  , então o número d de diagonais é: