ângulos opostos pelo vértice exercícios resolvidos

Artigo sobre ângulos opostos com questões resolvidas para fixação do conteúdo

Consideramos ângulos opostos pelo vértice, aqueles que possuem um lado como sendo semirretas opostas aos lados dos outros. 

Note que duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.

 

O é o vértice dos ângulos m, n, r e d

Analisando a figura notamos que, m e n são ângulos opostos pelo vértice, o mesmo acontece com os ângulos r e d.

Os ângulos opostos pelo vértice são ângulos congruentes (iguais).

Logo:
m = n e r = d 

Observamos também que:
m + r = 180º,  m + d = 180º,  n + r = 180º,  n + d = 180º

questões resolvidas ângulos opostos ao vértice

1) Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.





3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais.

3m - 12º = m + 10º
3m - m = 10º + 12º
2m = 22º
m = 22º/2
m = 11º

m + 10º e n, são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º.

(m + 10º) + n = 180º
(11º + 10º) + n = 180º
21º + n = 180º
n = 180º - 21º
n = 159º

Resposta: m = 11º e n = 159º

2) Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º  e 3x - 40º. Qual é o valor de x?

Solução:

x + 60º  = 3x - 40º   ângulos o.p.v         x - 3x = - 40º - 60º           -2x  =  - 100º               x   = 50º Logo, o valor de x é 50º.

3) Dois ângulos opostos pelo vértice medem, em graus, (3x+ 10) e (x + 50). Um deles mede, em graus:

a) 20°

b) 30°

c) 50°

d) 70°

e) 80°

Solução:

Como os ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes. Assim temos:

3x + 10 = x + 50

3x – x = 50 – 10

2x = 40

x = 40 / 2

x = 20

Note que determinamos o valor de x e não o que está sendo pedido pela questão. Como queremos o valor de um deles, basta substituir o valor de x em qualquer uma das expressões dos ângulos.

Desta forma, x + 50 = 20 + 50 = 70. Logo, a medida de um deles (os dois tem a mesma medida, pois são o.p.v.) é 70°. Portanto, letra D.

4) Na figura, a medida dos dois ângulos assinalados é


 

a) 50º                 b) 40º                 c) 30º                d) 60º                 e) 70º

5) A medida do ângulo x é:


a) 232º                  b) 32º                c) 116º                 d) 64º                 e) 100º

6) O valor de x é

a) 40º             b) 25º              c) 50º              d) 70º               e) 80º

7) Dois ângulos opostos pelo vértice (OPV) são:

a) complementares

b) congruentes

c) rasos

d) suplementares

8) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 105° e 5x - 45°. A medida de x é

a) 30º                   b) 105º                  c) 60º                d) 90º              e) 120º